W raju Cantora

W poście „Nowoczesne nauczanie matematyki” pisałem, że frakturowy podtytuł sprawił, że poczułem się tak, jakby moja największa życiowa miłość wołała mnie po imieniu (i zapowiadałem się z wpisem o raju Cantora). Tak jest w istocie za każdym razem, gdy w różnych sytuacjach w sposób przypadkowy dotykam niesamowitości matematycznego świata. Udajmy się do tego świata zatem w niełatwą, ale fascynującą podróż.

Georg Cantor i XIX-wieczne Niemcy

Jesteśmy w 1874 roku w mieście Halle, dwieście kilometrów na południowy zachód od Berlina, trzy lata po zjednoczeniu Niemiec. Dwudziestoośmioletni Georg Cantor pracuje jako profesor nadzwyczajny na tamtejszym uniwersytecie i tworzy przełomową, jak na tamte czasy, teorię mnogości. W artykule „Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” po raz pierwszy wprowadza pojęcie zbiorów równolicznych. Pojęcie samo w sobie jest oczywiste nawet dla przedszkolaka – chyba że spróbujemy sięgnąć do nieskończoności. Krzaki, na które tam natrafiamy, miażdżą naszą mizerną ludzką intuicję, dając jednak w zamian metafizyczne przeżycia i sprawiając, że studenci matematyki zakochują się w niej do szaleństwa (co i mnie się w moim studenckim życiu przytrafiło).

Jabłka gruszki i pracujące przedszkolaki

Zacznijmy od wywołanych przedszkolaków. To odpowiedni wiek, aby zrozumieć teorię Cantora – przynajmniej do pewnego stopnia. Kiedy razem z kolegami z przedszkola pod kierunkiem naszej pani łączyliśmy w pary jabłka z gruszkami, by sprawdzić, w którym zbiorze jest więcej owoców, nikt nie przypuszczał, że oto eksplorujemy jedną z najwspanialszych myśli matematycznych XIX wieku. A było tak w istocie. Spójrzmy na rysunek.

Gdy będziemy dobierać w pary jabłka z gruszkami, dojdziemy do momentu, w którym jedno jabłko zostanie bez pary. Jabłek zatem jest więcej niż gruszek (właściwie nie trzeba nawet umieć liczyć).

Na drugim rysunku każdej śliwce udało się dać do pary truskawkę, a więc te zbiory mają tyle samo elementów – mówimy, że są równoliczne.

Tak samo można postąpić z dowolnymi elementami, na przykład z numerami domów po lewej i prawej stronie ulicy (zbiory w tym przykładzie też są równoliczne).

A może by tak w nieskończoność?…

A skoro można to zrobić z numerami domów od 1 do 10, to można też ze wszystkimi dodatnimi liczbami nieparzystymi i parzystymi (do których dołączamy zero).

Każdej liczbie nieparzystej przydzieliliśmy jakąś liczbę parzystą – co prawda zwiększyliśmy nieco poziom abstrakcji, bo weszliśmy do świata zbiorów nieskończonych, ale nic nadzwyczajnego się nie zadziało. A fakt, że dodatnich liczb parzystych i nieparzystych jest tyle samo, wydaje się być trywialny. A jak dołączymy minusy? Również będzie w porządku, tylko utworzymy pary także po ujemnej stronie osi.

Czas najwyższy zatem na zrzucenie pierwszej bomby! Co gdybym powiedział Ci, że nie tylko liczb nieparzystych i parzystych jest tyle samo, ale również dodatnich nieparzystych i wszystkich naturalnych?

Zaraz, zaraz! Zbiór dodatnich liczb nieparzystych zawiera się przecież w zbiorze liczb naturalnych, w którym jest jeszcze cała masa liczb parzystych, więc nieparzystych od naturalnych powinno być dwa razy mniej! Sprawdźmy to naszym przedszkolnym sposobem. Na górze naturalne – na dole nieparzyste dodatnie:

Każdej liczbie naturalnej przydzieliliśmy nieparzystą towarzyszkę i (o dziwo!) wykorzystaliśmy wszystkie liczby. Jest ich więc dokładnie tyle samo!

Naturalne i całkowite? Nic prostszego!

Okazuje się, że aby wykazać, że liczb w jakimś zbiorze jest tyle samo, co naturalnych wystarczy każdej liczbie naturalnej przydzielić jakąś parę z tego zbioru – albo mówiąc inaczej, ponumerować elementy tego zbioru liczbami naturalnymi. Mówimy wtedy, że taki zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych – czyli że jest przeliczalny.

A co z liczbami wymiernymi?

Takie zbiory możemy wymyślać w nieskończoność – zbiór liczb pierwszych, złożonych, kwadratów liczb naturalnych, parzystych, podzielnych przez trzy, sto, tysiąc, dziesięć miliardów… Ułóż te liczby jedna za drugą i już masz dowód na to, że jest ich tyle samo co naturalnych.

W ten sposób można udowodnić, że przeliczalny jest również zbiór liczb wymiernych (choć tu już będzie odrobinę trudniej).

Jak wiemy, liczby wymierne to takie, które da się zapisać w postaci ułamków, w których licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Spróbujmy więc stworzyć tabelę, w której pierwszym (nieskończonym) wierszu będą kolejne ułamki o liczniku 1, w drugim wierszu kolejne ułamki o liczniku 2, w kolejnym 3 i tak do końca — czyli w nieskończoność. W ten sposób wypisujemy wszystkie możliwe liczby wymierne, jak na rysunku poniżej. Oczywiście, część została zdublowana, bo na przykład ułamek 2/4 to tyle samo co 1/2. Nie stanowi to jednak problemu – zamazujemy wszystkie duble niebieskim kleksem – i już!

To pierwszy krok naszego dowodu. Teraz chcemy te liczby ponumerować – czyli ułożyć w jakiejś kolejności. Zaczynamy więc w lewym górnym rogu od liczby 1/1, a następnie wzdłuż strzałek przemierzamy całą naszą nieskończoną tablicę. Voilà! Wszystkich liczb wymiernych jest dokładnie tyle samo co wszystkich naturalnych!

Zróbmy jeszcze dziwniej…

Tutaj być może nasz zdrowy rozsądek podsunie nam logiczną skądinąd myśl, że doprawdy nie ma w tych rewelacjach nic nadzwyczajnego. Zbiory, o których mówimy, są nieskończone, więc w sposób oczywisty mają tyle samo elementów – ich liczba to po prostu nieskończoność.

Lecz to nie do końca prawda. Uwaga na drugą bombę!

Liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych!

Oto dowód. Na początek obejrzyjmy zbiór liczb rzeczywistych. Zanim przekroczyliśmy niewidzialną granicę, mieliśmy zbiór liczb wymiernych, które dają się zapisać w postaci ułamków zwykłych. Gdybyśmy chcieli je przedstawić w postaci ułamków dziesiętnych, dostalibyśmy rozwinięcie dziesiętne skończone (choćby i zerowej długości) jak na przykład w liczbie 25,68504 lub nieskończone okresowe, jak na przykład 65,16161616…, które zapisujemy tak: 65,(16). Gdy do tego zbioru dołożymy zbiór liczb, których rozwinięcia są nieskończone i nieokresowe, czyli liczby niewymierne (pi, pierwiastek z dwóch, 0,0100100010001…, 0,123456789101112… i tak dalej), dostaniemy zbiór liczb rzeczywistych i diametralnie zmienimy zasady gry.

Teraz przyjmijmy na chwilę, że liczby rzeczywiste umielibyśmy jednak ponumerować (właściwie to wystarczy wziąć liczby większe od zera i mniejsze od jedności).

Nasza układanka mogłaby wyglądać na przykład tak (oczywiście to tylko przykład, sposobów jest nieskończenie wiele):

Cała zabawa w tym dowodzie nie wprost polega na znalezieniu takiej liczby, która w tym zestawieniu rzekomo wszystkich liczb rzeczywistych nie występuje. Robimy to tak: Patrzymy na pierwszą cyfrę rozwinięcia pierwszej liczby z naszej listy i jako pierwszą cyfrę rozwinięcia liczby, którą tworzymy, dajemy cyfrę o jeden większą. Potem bierzemy drugą cyfrę drugiej liczby z listy i robimy to samo, potem trzecią trzeciej i tak dalej (gdy natrafimy na 9, naszej nowej liczbie dajemy w tym miejscu 0).

W naszym przykładzie wyglądałoby to tak:

Skąd wiadomo, że tej liczby nie ma na naszej liście? Otóż w oczywisty sposób różni się ona od pierwszej liczby z listy co najmniej jedną (pierwszą) cyfrą, od drugiej liczby co najmniej jedną (drugą) cyfrą, od trzeciej trzecią, od czwartej czwartą… nie mogliśmy jej więc umieścić wcześniej na tej hipotetycznej liście liczb rzeczywistych, a zatem nie mogły być one ponumerowane. Jest ich zatem istotnie więcej niż wszystkich liczb naturalnych! A to oznacza, że są mniejsze i większe nieskończoności! Witamy w raju Cantora!

Alefy, fraktury i inne dziwne rzeczy

W odmętach Internetu krążą rozmaite matematyczne memy przedstawiające, do czego w życiu przydają się na przykład wzory skróconego mnożenia. Są też moje ulubione, o dołączaniu do matematyki liter alfabetu.

Wspominam o tym dlatego, że do oznaczenia tych dziwnych nieskończoności matematycy postanowili użyć alfabetów aż dwóch. Dla mocy (czyli ilości elementów) zbioru liczb naturalnych (a zatem i wszystkich zbiorów z nim równolicznych) przeznaczono pierwszą literę alfabetu hebrajskiego, czyli alef, z indeksem 0. Wygląda to tak:

Moc zbioru liczb rzeczywistych to alef jeden, czyli

ale zwyczajowo używa się gotyckiego c, czyli

i nazywa continuum.

Czcionka służąca do tego zapisu to fraktura albo szwabacha, a do matematyki wprowadził ją wraz z innymi uczonymi (a jakże!) Georg Cantor, aby odróżnić pojęcia nowo powstałej teorii mnogości od zwykłych zmiennych zapisywanych standardowym krojem łacińskim lub greckim.

I tutaj w sposób naturalny pojawia się pytanie: czy mogą istnieć zbiory, które mają jeszcze więcej elementów – więcej niż zbiór liczb rzeczywistych? I czy istnieje zbiór mający więcej elementów niż alef zero, ale mniej niż continuum? I czy te moce kiedyś się kończą?

To fascynujące pytania, na które odpowiemy w kolejnym wpisie Raj dla zuchwałych, czyli hipoteza continuum i inne szokujące zjawiska już wkrótce.

Teraz jednak…

Czas na Ciebie:

W 1925 roku słynny niemiecki matematyk Dawid Hilbert powiedział „Z raju, który stworzył nam Cantor, nikt nie zdoła nas wypędzić”. Teoria mnogości po raz pierwszy bowiem pozwoliła matematykom badać nieskończoność w sposób ścisły i uporządkowany. Wprowadziła również pojęcie liczb kardynalnych na określenie mocy zbiorów i stworzyła dla nich całą arytmetykę. Zachęcam Cię do poszukania w Wikipedii ich własności: https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru. Gwarantuję, że będziesz zaskoczona/y!
Poniżej znajdziesz kilkuminutowe filmy z biografiami wspomnianych matematyków – Georga Cantora i Dawida Hilberta. Zachęcam Cię do kontynuowania internetowych poszukiwań na temat tych niemieckich uczonych, a także do odszukania polskiego wątku w całej tej historii.

Dawid Hilbert jest pewnego matematycznego pojęcia (specjalnej struktury), które nazywane jest od jego nazwiska przestrzenią Hilberta. Nie sposób przecenić jego znaczenia dla współczesnej fizyki. Spróbuj odkryć, jaką rolę pełni ta struktura. Jest ona również szczególnym przypadkiem innej przestrzeni, nazwanej nazwiskiem polskiego uczonego. Jak nazywał się ten polski matematyk?