Ile razy trzeba zgiąć kartkę papieru, by dostać się na Księżyc? Pytanie – może się wydawać – jest z tak zwanej „czapy” ale dotyczy słynnego w „mat-popkulturze” problemu i tego ile razy da się to zrobić w normalnym fizycznym świecie.
Zacznijmy od tego, że próbując to robić, bardzo szybko natrafimy na nieprzezwyciężalne trudności. Już po kilku powtórzeniach papier robi się sztywny i aby kontynuować ten proces musielibyśmy używać siły większej niż do gięcia stali. Problem stanowi też to, że zginana kartka nie jest idealnie płaska i miejsce zagięcia stawia coraz większy opór przy kolejnych krokach naszego eksperymentu.
Zwykłą „domową” kartkę A4 da się tak zagiąć (z trudem) tylko 7 razy, a próby dokonania tego wyczynu łatwo znaleźć w Internecie. Oficjalny rekord Guinnessa od ponad 20 lat należy do amerykańskiej matematyczki Britney Gallivan, która będąc w szkole średniej najpierw udowodniła, że odpowiednio dużą kartkę da się zgiąć aż (lub tylko) 12 razy, a potem zrobiła to w praktyce. Nie mogło się obejść bez specjalnych równań i, oczywiście, odpowiednio dużej kartki papieru mającej ponad kilometr długości. Opis tego wyczynu i film, w którym sama Britney przedstawia swoje równania i pokazuje poskładaną „kartkę” wkleiłem na końcu artykułu.
My tymczasem, jak zawsze na matmie i fizyce, załóżmy, że w jakiś sposób umielibyśmy zginać papier tyle razy ile chcemy i zawsze uda nam się dostać kartkę idealnie płaską, bez żadnej krzywizny w miejscu zagięcia. Ile razy musielibyśmy to zrobić, by tak poskładany papier zaprowadził nas aż na Księżyc?
Zacznijmy od tego, że kartka złożona raz staje się dwa razy grubsza niż na początku. Gdybyśmy wzięli zwykłą kartkę A4, której używamy do drukowania, mielibyśmy arkusz o grubości około 0,1 milimetra. Gdy złożymy ją na pół, dostaniemy 0,2 milimetra, a gdy to zrobimy jeszcze raz, grubość znowu podwoi się, czyli osiągnie 0,4. Jeszcze dwa zgięcia i przekroczymy milimetr (0,8 mm i 1,6 mm). Głowy jak na razie nie urywa ale już teraz możemy zauważyć, że w tych działaniach zaczaiła się pewna niesamowita siła, która sprawia, że nasze liczby rosną coraz szybciej.
Przyjrzyjmy się sprawie trochę bardziej matematycznie. Gdy zginamy kartkę, jej grubość mnożymy przez 2, potem znowu przez 2 i znowu i znowu… a to jak wiadomo przepis na potęgowanie. Przy jednym złożeniu mamy więc 2 czyli 21, przy dwóch 2∙2 czyli 22 = 4, potem 2∙2∙2 czyli 23, co daje już 8. Możemy robić tak w nieskończoność. Każdy z tych wyników trzeba jeszcze przemnożyć przez grubość pojedynczej kartki. Najwygodniej będzie wyrażać ją w metrach. W każdym metrze milimetrów jest tysiąc, więc nasze początkowe 0,1 mm będzie równe dokładnie 0,0001 metra i przez taką liczbę będziemy mnożyć kolejne potęgi dwójki. Pierwszych pięćdziesiąt kroków możesz prześledzić w poniższej tabeli.
Możemy zauważyć, że zginając kartkę, jak na początku wpisu, 7 razy dostaniemy grubość nieco ponad 1 cm. Wyczyn Britney Gallivan to już 40 cm. Aby osiągnąć wysokość najwyższego budynku na świecie, Burj Khalifa mającego 828 metrów, potrzeba 23 zagięć, a do osiągnięcia umownej granicy kosmosu, czyli 100 km wystarczy ich tylko 30. Wreszcie trafiamy na Księżyc, do którego mamy 380 tysięcy kilometrów. Okazuje się, że aby do niego dotrzeć wystarczy złożyć kartkę 42 razy. To naprawdę niewiele. Gdy złożymy kartkę jeszcze raz, wrócimy na Ziemię zaliczając jednym zgięciem całą naszą dotychczasową pracę. Jak szybko zwiększają się te liczby możesz zobaczyć na poniższym wykresie. By w ogóle cokolwiek zobaczyć ograniczymy się tylko do pierwszych dwunastu kroków.
Idźmy dalej – liczby robią się tak abstrakcyjne, że nie ma sensu umieszczać ich w tabeli. 50 zagięć zaprowadzi nas w pobliże Słońca (150 mln km). Zginając kartkę 70 razy mijamy najbliższą gwiazdę spoza naszego układu, czyli Proxima Centauri (odległość 4,2 roku świetlnego, grubość kartki 12,5 roku świetlnego), 80 zagięć to rozmiar Drogi Mlecznej (czyli 12 200 lat świetlnych), a 90 to ilość pozwalająca znacznie przekroczyć odległość do najbliższej nam Galaktyki Adromedy (2,5 mln lat świetlnych, a grubość kartki to aż 12 mln lat świetlnych)!
Czy możemy zginać tak naszą kartkę w nieskończoność? Jakąś granicą może być rozmiar widzialnego Wszechświata, który szacuje się na niewyobrażalną liczbę 93 miliardów lat świetlnych. Okazuje się, że aby osiągnąć taki wynik trzeba zgiąć kartkę 103 razy. To bardzo mało, zważywszy na fakt, że liczby które możemy wstawiać do naszych obliczeń ciągną się w nieskończoność. To pokazuje jak potężnym narzędziem jest podnoszenie dwójki do potęg wyznaczanych przez kolejne liczby naturalne, a ściślej i bardziej matematycznie mówiąc – funkcja wykładnicza.
Na zakończenie: Te 93 miliardy lat świetlnych to może być granica jedynie pozorna. Określają one rozmiar widzialnego Wszechświata, czyli obszaru, z którego światło zdążyło dotrzeć do nas od początku czasu, czyli od Wielkiego Wybuchu. Cały Wszechświat jest znacznie, znacznie większy od swojej obserwowalnej części, a niektórzy naukowcy dopuszczają nawet możliwość, że jest nieskończony. Pojawić się może także wątpliwość, jak to możliwe, że we Wszechświecie, którego wiek to 14 miliardów lat i w którym prędkości światła nie da się przekroczyć, odbieramy sygnały z odległości, którą światło musiałoby pokonywać 93 miliardy lat?
Nie odpowiemy tutaj (jak bardzo często na lekcjach zresztą) na to pytanie. Wspominam o tym jedynie po to by (również jak bardzo często zresztą) zasiać małe ziarenko wątpliwości. To temat na całkiem inną okazję i na pewno znajdzie się kiedyś na naszym blogu w młodzieżowej serii #Youth. A ile razy Ty dasz radę zgiąć swoją kartkę?
Wyczyn Britney Gallivan na kanale Guinness World Records:
Edukacyjny.blog Seb Janczy 
Dodaj komentarz