#Youth: Paradoks dnia urodzin

Nie tak dawno zapowiadałem się na Instagramie z nowym cyklem blogowych wpisów i wspominałem, że to będzie seria #Youth. Ma to związek przede wszystkim z tym, że (właśnie nie tak dawno) zacząłem cokolwiek tam publikować (choć konto miałem już jakiś czas). Całe zamieszanie z Instagramem wywołała jedna z moich wspaniałych klas, która wyczaiwszy na Facebooku moje urodziny, rozmontowała mnie pysznym tortem z najprawdziwszą świeczką.

Problem pojawił się gdy trzeba było mnie na Insta po wszystkim oznaczyć – konto niby miałem ale puste i mdłe. Zacząłem więc trochę ten stan naprawiać i teraz przecudnie pachnie tam nastoletniością. A że bycie nauczycielem to stan umysłu, rozpoczęcie indoktrynacji matematyką i fizyką było tylko naturalną kwestią czasu.

I skoro cała afera zaczęła się od urodzin, to temat inauguracyjnego postu wymyślił się sam. Zacznijmy od tego, pozostając nadal w normalnej rzeczywistości, że w ciągu tygodnia spotykam w swoich szkołach piętnaście różnych klas. Mógłbym pójść o zakład, że w siedmiu albo ośmiu z nich znalazłbym dwoje osób, które obchodzą urodziny dokładnie tego samego dnia. Fakt, że w trzech klasach mam po dwóch bliźniaków sprawia, że jestem już trochę do przodu ale nawet gdyby nie zacni panowie (bo to sami panowie), mógłbym być prawie pewny, że takie przypadki w połowie tych klas uda się znaleźć. Hazard, szaleństwo, czy przestudiowany wcześniej dziennik? Nic z tych rzeczy – rachunek prawdopodobieństwa!

Problem ten nosi nazwę paradoksu dnia urodzin i głosi, że wystarczy już grupa 23 osób, by szansa znalezienia w niej pary ze wspólną datą urodzin była większa niż 50%. Jak to w ogóle możliwe skoro rok ma 365 dni? Teraz trochę matmy – nie za trudnej, nie za dużo – skupiamy się i będzie dobrze.

Spróbujmy na początku zastanowić się jaka jest szansa czegoś przeciwnego – tego, że nikt nie będzie miał urodzin w tym samym dniu. Załóżmy, że Ania ma urodziny w jakimś konkretnym dniu roku czyli może wybrać 365 dni z 365. Basia, żeby mieć je innego dnia, ma do wyboru wszystkie dni poza tym jednym dniem zarezerwowanym dla Ani. Jest ich oczywiście 364, a szansę że Basia ma urodziny w takim właśnie dniu możemy łatwo policzyć dzieląc 364 przez 365. Właśnie dlatego prawdopodobieństwo obchodzenia urodzin w różne dni przez obie dziewczyny jest równe:

 A skoro tak, to szansa na wspólne ich urodziny to:

Na razie nie dzieje się nic strasznego, prawda?

Teraz dochodzi Czesio i w taki sam sposób szukamy dla niego daty urodzin. Zostają 363 wolne dni i szansa że taki wylosujemy jest równa 363/365. Rozbudujmy więc nasze obliczenia o prawdopodobieństwo dla Czesia:

Zatem szansa, że dwoje z tej trójki uczniów obchodzi urodziny tego samego dnia trochę rośnie i wynosi już:

Nadal nie jest to zbyt wiele, ale obliczenia możemy kontynuować dokładając kolejny człon ilekroć pojawi się nowa osoba. W następnym kroku mnożymy przez 362/365, potem 361/365 i tak dalej. Odpowiednie wartości zebrałem dla Ciebie w poniższej tabeli:

Łatwo zauważyć, że przy 23 osobach prawdopodobieństwo tego, że wszystkie obchodzą urodziny w różne dni jest równe 0,493 – a więc szansa, że w tej grupie znajdą się dwie, które obchodzą urodziny tego samego dnia to:

A to już więcej niż połowa, czyli ponad 50%! Z tej tabeli można wyczytać coś jeszcze. Otóż gdybyśmy chcieli dowiedzieć się ilu osób potrzeba by takie prawdopodobieństwo wynosiło na przykład 99%, okaże się, że wystarczy ich tylko 57. 365 dni w roku, 57 osób i prawie stuprocentowa pewność, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia!

Aby jeszcze lepiej zobrazować wartości tych prawdopodobieństw dla pierwszych 60 osób przeniosłem je na poniższy wykres:

Wynika z niego, że w wystarczająco dużej grupie z taką sytuacją spotkamy się praktycznie na pewno.

Dlaczego to dla nas takie zaskakujące? Po pierwsze, może dlatego, że matematyka wcale nie musi być zgodna z naszymi przekonaniami, a rachunek prawdopodobieństwa szczególnie lubi sponiewierać naszą intuicję. Drugim, wydaje mi się, istotniejszym w tej sytuacji, powodem może być to, że stawiając takie pytanie podświadomie myślimy o jakiejś konkretnej dacie, podczas gdy w rzeczywistości może być ona dowolna (byleby tylko znaleźć dwie osoby, które urodziły się tego właśnie dnia). Oczywiście szansa na to, że znajdziemy dwie osoby, które mają urodziny w jakiś konkretny dzień, na przykład 24 czerwca, jest dużo mniejsza. Ale to już opowieść na całkiem inną okazję.

Dzięki, że dojechałaś/dojechałeś do samego końca. Dla faceta, który uczy w szkole to zawsze bardzo miłe. Kolejne zaskakujące (a czasem wręcz szokujące) fakty ze świata cyferek i skaczących na sprężynie ciężarków w następnych odcinkach bloga ze specjalnego cyklu #Youth.